INDUKSI MATEMATIKA

Dalam penyelesaian beberapa permasalahan dalam matematika acap kali dapat menggunakan rumus-rumus tertentu. Agar rumus tersebut dapat digunakan dengan baik, rumus tersebut harus dibuktikan kebenarannya. Pada tulisan ini akan dijabarkan pembuktian mengguakan induksi matematika. Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika. Dalam matematika, induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli. Pembuktian suatu pernyataan matematis dengan induksi matematika dilakukan pada objek matematika yang bersifat diskrit, misalnya teori bilangan, teori graf, dan kombinatorika. Matematikawan menggunakan induksi matematika untuk menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya.

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian dalam matematika. Secara umum, Induksi matematika merupakan metode untuk membuktikan bahwa suatu sifat yang didefinisikan pada bilangan asli $n$ adalah bernilai benar untuk semua nilai $n$ yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu. Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah. Perlu ditekankan bahwa dengan induksi matematika kita dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, tetapi bukan untuk menemukan suatu formula atau rumus. Prinsip pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut:

Misalkan $P(n)$ merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan $P(n)$ benar jika memenuhi langkah berikut;

Langkah awal (basic step) : terbukti bahwa $P(1)$ benar
Langkah induksi (induction step) : Jika $P(k)$ benar, maka $P(k+1)$ benar untuk setiap k bilangan asli.

Langkah awal dalam pembuktian dengan menggunakan prinsip induksi matematika tidak selalu dipilih untuk $n=1$, $n=2$, atau $n=3$, tetapi dapat dipilih sebarang nilai $n$ sedemikian sehingga dapat mempermudah supaya proses langkah awal dipenuhi. Langkah awal yang telah ditemukan merupakan modal untuk menentukan langkah induksi, maksudnya adalah jika $P(1)$ benar maka $P(2)$ benar, jika $P(2)$ benar maka $P(3)$ benar demikian seterusnya sehingga dapat disimpilkan bahwa $P(k)$ benar. Dengan menggunakan hipotesis (dugaan) $P(k)$ benar, maka akan ditunjukkan $P(k+1)$ benar. Jika $P(n)$ memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula $P(n)$ terbukti benar.

Contoh:

Buktikan bahwa $4+6+8+...+(2n+2)=n^{2}+3n$

Penyelesaian

Langkaah awal

Akan ditunjukkan bahwa $P(n)$ benar untuk $n=1$

$\Leftrightarrow2n+2=n^{2} +3n$

$\Leftrightarrow2(1)+2=1^{2} +3(1)$

$\Leftrightarrow4=4$

terbukti

Langkah induksi

kita asumsikan bahwa juga benar untuk $n=k$ sehingga

$4+6+8+...+(2k+2)=k^{2}+3k$

dianggap benar

Selanjutnya akan ditunjukkan untuk $n=k+1$, sedemikian sehingga

$4+6+8+...+(2k+2)+(2(k+1)+2)=(k+1)^{2}+3(k+1)$

$\Leftrightarrow k^{2}+3k+(2k+2+2)=k^{2}+2k+1+3k+3$

$\Leftrightarrow k^{2}+5k+4=k^{2}+5k+4$

terlihat bah pernyatan di atas terbukti benar

Latihan soal:

Buktikan bahwa rumus deret di bawah ini benar:

1. $1+3+5+7+...+(2n-1)=n^{2}$

2. $3+7+11+...+(4n-1)=2n^{2}+n$

Belajar sampai akhir hayat

Salam digama

Digama Academy