TRIGONOMETRI : PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU (MATEMATIKA KELAS 10)

Pada pembahasan trigonometri pasti akan selalu terkait dengan segitiga siku-siku. Pada bagian ini kita akan menetukan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Dengan mengetahui konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, banyak permsalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan mudah. Misalkan, kita dapat membuat peta lorong goa, kita dapat menentukan tinggi gedung, dan permsalahan sederhana lainnya.

Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

Pada gambar Gb. Tgr 9, titik A(x,y) terletak pada lingkaran yang berpusat pada titik O(0,0) seperti pada gambar dengan jari-jari r. Jika kita proyeksikan titik A ke sumbu x ditemukan bayangannya yaitu titik B seperti pada gambar. Jika kita hubungka titik A dengan titik B kita dapatkan garis AB yang tegak lurus dengan sumbu x dan kita hubungkan titi O dengan titik B, maka kita akan mendapatkan segitiga OAB yang siku-siku di B. Dengan demikian kita memiliki segitiga siku-siku OAB dengan panjang OA = r, panjang AB=y, dan panjang OB=x.

Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras yaitu kuadrat dari sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah dari kuadrat sisi siku-sikunya. Dengan demikian pada segitaiga OAB berlaku $r^{2}=x^{2}+y^{2}$.

Perbandingan trigonometri merupakan perbadingan antar sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Besarnya perbandingan trigonometri tidak bergantung pada sisi-sisinya melainkan bergantung pada sudut-sudutnya. Masing-masing perbandingan trigonometri memiliki istilah tersendiri, yaitu sinus, cosinus, tangent, cosecant, secan, dan cotangent. Berikut penjelasan masing-masing istilah tersebut.

Mari perhatikan kembali gambar Gb. Tgr. 9, misalkan besar sudut O pada segitiga OAB adalah $\alpha$. Sisi di depan sudut siku-sikunya kita sebagai sisi miring (hipotenusa), sisi didepan sudut $\alpha$ kita sebut sebagai sisi depan (opposite), sisi disamping sudut $\alpha$ (selain sisi miring) kita sebut sebagai sisi samping (adjacent). Dalam penjabaran perbandingan trigonometri berikut kita menggunakan sudut $\alpha$ pada segitga OAB diatas pada gambar.

Sinus adalah perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dengan panjang sisi miring. Dengan demikian diperoleh $\sin \alpha =\frac{y}{r}$

Cosinus adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut dengan panjang sisi miring. Dengan demikian diperoleh $\cos \alpha =\frac{x}{r}$

Tangent adalah perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dengan panjang sisi samping sudut. Dengan demikian diperoleh $\tan \alpha =\frac{y}{x}$

Cosecan adalah perbandingan antara panjang sisi miring dengan panjang sisi di depan sudut. Dengan demikian diperoleh $\csc \alpha =\frac{r}{y}$

Secan adalah perbandingan antara panjang sisi miring dengan panjang sisi samping sudut. Dengan demikian diperoleh $\sec \alpha =\frac{r}{x}$

Cotangent adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut dengan panjang sisi di depan sudut. Dengan demikian diperoleh $\cot \alpha =\frac{x}{y}$

Contoh:

1. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B. Jika AB=5 cm dan AC=13 cm. Hitunglah nilai $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\csc \alpha$, $\sec \alpha$, dan $\cot \alpha$ !

2. Diketahui $\sin \beta =\frac {3}{5}$. Tentukan nilai $\cos \beta$, $\tan \beta$, $\csc \beta$, $\sec \beta$ dan $\cot \beta$ !

Pembahasan :

Alternatif penyelesaian contoh 1:

$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$

$BC=\sqrt{13^{2}-5^{2}}$

$BC=\sqrt{169-25}$

$BC=\sqrt{144}$

$BC=12$ cm

$\sin \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$

$\cos \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{12}{13}$

$\tan \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{5}{12}$

$\csc \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{13}{5}$

$\sec \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{13}{12}$

$\cot \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{12}{5}$

Alternatif pennyelesaian contoh 2:

$x=\sqrt{5^{2}-3^{2}}$

$x=\sqrt{26-9}$

$x=\sqrt{16}$

$x=4$

$\cos \beta=\frac{4}{5}$

$\tan \beta=\frac{3}{4}$

$\csc \beta=\frac{5}{3}$

$\sec \beta=\frac{5}{4}$

$\cot \beta=\frac{4}{3}$

Terus belajar sampai akhir hayat.

Salam Digama Academy

Berbagi